良問の風 115 解説

(1)

コンデンサーの電荷が0のときは電気をそのまま通します。
上図のように電流が流れるとすると、それぞれの回路は
$V = R I_{0} + 2 R I_{2}$
$V = R I_{0} + 3 R (I_{0} - I_{2})$
となる。この連立式から
$I_{0} = \frac{5}{11} \frac{V}{R}$

別解

上図のように抵抗だけの回路と考えた時に、抵抗の合成から考えていくこともできます。
$\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{2 R} + \frac{1}{3 R}$
より $R_{23} = \frac{6}{5} R$

$R_{123} = R + R_{23}$
より $R_{123} = \frac{11}{5} R$

よって $I_{0} = \frac{V}{R_{123}} = \frac{5}{11} \frac{V}{R}$

(2)

コンデンサーに電荷が十分にたまると、電流が流れなくなります。
そのため、図のような回路と同等になり、
$V = R I_{0}^{'} + 2 R I_{0}^{'}$
$I_{0}^{'} = \frac{V}{3 R}$

また、コンデンサー間の電位差は $V_{c} ＝ 2 R I_{0}^{'} = \frac{2}{3} V$

(3)

コンデンサーの部分だけ見ていきます。
中央部分は電気的に孤立している、つまり電荷が外に出ていかないので合計は0となります。
そのため、どちらもため込んだ電荷は同じになります。
これを $Q$ とすると、コンデンサーの電気容量の式は
$Q = C V_{1}$
$Q = 3 C V_{2}$
と表されます。
$V_{1} + V_{2} = V_{c}$ より、
$Q = \frac{3}{4} C V_{c} = \frac{1}{2} C V$

(4)

コンデンサーから流れ出した電流を $i_{0}$ とすると、
$V_{c} = 3 R i_{0} + 2 R i_{0}$
よって $i_{0} = \frac{1}{5} \frac{V_{c}}{R} = \frac{2}{15} \frac{V}{R}$

流れる電流は次第に小さくなっていきますが、それぞれの抵抗で時間あたりに消費される電力は常に
$P_{2} : P_{3} ＝ 2 R i_{0}^{2} : 3 R i_{0}^{2} = 2 : 3$ になります。
そのため、消費電力の合計も図の面積分であるため、
$W_{2} : W_{3} = \int_{0}^{\infty} P_{2} d t : \int_{0}^{\infty} P_{3} d t = 2 : 3$
となります。

コンデンサーのエネルギーは全て抵抗で消費されるため、
$W_{2} + W_{3} = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} + \frac{Q^{2}}{3 C}$
$W_{3} = \frac{3}{5} (\frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} + \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{3 C}) = \frac{1}{10} C V^{2}$

補足